Dobrze, że napisałeś to, bo nie sprawdziłem i internetu nie mam. Aż dziwne, byłem pewny, że mam. W pracy, na takiej konfiguracji, tylko z innym routerem normalnie internet działał.
Zmień LAN-owy adres IP w tej konfiguracji na np. 192.168.100.1 w operation mode masz Wireless Client Router?
Tak, mam AP Client Router. Zmieniłem adres LAN i internetu nie ma.
Wytłumacz mi, dlaczego ten adres nie mógł zostać?
Dlatego że Wireless Client Router to tryb clienta z routerem (WISP) a przy tej samej puli nie działa NAT podstawa funkcjonowania routera.
Pokaż jeszcze raz Status.
Do DHCP Settings dopisz jakieś DNS - mogą być od dostawcy lub 8.8.8.8 i 8.8.4.4 potem Save i reboot WR543g, pokaż co dostałeś na kartę sieciową -
z polecenia ipconfig /all
Bramę masz jeszcze źle wpisaną, 192.168.100.1 powinna być tak jak adres routera.
Czasmi routery SOHO nie radzą sobie z przekazywaniem pełnej adresacji szczególnie w starszych urządzeniach.
Hmm, teraz działa 
Jednak, mam wrażenie, że tutaj miałem inny problem niż w pracy. Dlaczego? Dlatego, że tutaj połączenie przez WiFi w routerze przebiegło bezproblemowo. W pracy natomiast, miałem w statusie ciągle na niebiesko "Obtaining Network Parameters...". Więc coś jeszcze nie tak.
Niestety wróżką nie jestem ani jasnowidzem. Problem z autoryzacją lub DHCP ale to tylko przypuszczenia.
Rozumiem, jednak jakieś może wskazówki/najczęstsze błędy? Jakieś kluczowe zasady co musi być takie same a co inne w takim połączeniu? Może uda mi się jutro zrobić bez publikowania następnych screenów 
Tak, doczytałem się tego Jeśli chodzi o autoryzację taką, że coś niepoprawnie wpisuję hasło bądź co innego, to na pewno nie. Próbowałem ustawić na automatyczną metodę uwierzytelniania, na sztywno, zmienić metodę na koniec wyłączyłem zabezpieczenie (bez hasła) i dalej było to samo.
Co do tych sztywnych zasad to chodzi mi o to, czy np. firewall musi być włączony/wyłączony, dane z DHCP w obu routerach muszą być identyczne. Czy reszta opcji (a jest ich mutlum) w obydwu routerach muszą być identyczne/różne? Czy LAN obydwu routerów musi być z tej samej puli (nie wiem czy dobre określenie), znaczy, że jeden router ma adres 192.168.100.1 a drugi 192.168.2 czy może 192.168.200.1 i 192.168.100.5? Czy trzeba użyć klonowanie MACa (aczkolwiek wydaje mi się, że nie, bo nie mam ustawionego MAC Filtering, z resztą i tak mam wszędzie "allow")?
Hasło to nie jedyna metoda zabezpieczenia sieci bezprzewodowej, może to być filtracja mac, ograniczenie puli DHCP,
Wr340g działa jako router WAN-owy czy tylko punkt dostępowy?
Nie wiem co kryje się pod tymi pojęciami, jednak wygląda to tak, że jest sobie antenka na dachu, idzie od niej kabel do takiego urządząnka, które rozdziela kabelek na dwie części, jedna część to kabel wchodzący w gniazdo WAN, druga część to zasilanie anteny.
Wszystkie te opcje standardowo w routerach miałem wyłączone (Advanced Security). Jednak na tym routerze, co mi działało, wszystko było włączone 
Pokażesz obrazki to będę mógł coś więcej powiedzieć.
Status, Wireless Setting i Security plus DHCP Settings z tego WR340g, teraz to możemy sobie gdybać. Adresacja musi się znaleźć na WAN-ie Wr543g tak jak to widzisz teraz w statusie kiedy internet działa.
Dobrze, jutro jeśli mi się nie uda, wstawię obrazki. Dziękuję, miłej nocy życzę. Do jutra!
Zobaczymy, pomyślmy i coś wykombinujemy
Obrazki
Jeżeli chcesz odebrać sygnał za pomocą WR543 z WR340 to zmień przede wszystkim w tym pierwszym adres LAN na 192.168.2.1. Ustawiony musi być jako Client lub Client router. Wyszukujesz swoją sieć wpisujesz hasło. Pamiętaj aby po każdej operacji zastosować save i reboot.
Zabieg wykonany. Efektu brak.